學習之道在乎反覆練習，打穩基礎
數學在我們的生活中無處不在；數學家利用群論 (group theory)來研究「扭計骰」(Rubik’s’ Cube) 的不同排列。
製作柏拉圖立體(platonic solid)是我經常要求學生做的功課之一。柏拉圖立體指的是一個各面都是全等的正多邊形的立體。相片所見的是一個二十面柏拉圖立體（二十面體）。透過製作一個屬於自己的柏拉圖立體，學生能夠鞏固他們的幾何知識。
鄭曉暉博士
數學及資訊科技學系一級講師
作為一名培育未來數學教師的數學家，我心中經常有一個疑問— 如何才能有效地教授和學習數學？根據多年來在這所大學教授數學的經驗，我發現能擅用方程式回答測驗和考試問題的學生大有人在，但他們卻往往未能明白數學家是如何得出這些方程式。我認為這個不足之處正好給我解答以上這個問題的提示。
讓我從一些小學數學問題說起。分數加法對許多小孩而言是困難的。他們可能明白二加三等於五，但卻不懂計算三分一加二分一。要協助他們，必須先讓他們明白三分一和二分一的意思。
在數學中，自然數 (natural numbers) 即由一、二、三、四以至無限的數字；數學術語為整數(integers)。日常生活中，我們會用整數，即自然數來數數目，例如檯上有多少隻杯；牧場有多少隻羊；以及課室內有多少名學生。小孩覺得自然數具體易明，所以也懂得把兩個自然數相加。
一般而言，日常事物皆完整，即以整體的形式出現；我們少有見到半隻羊、三分一條魚或四分一條香蕉。因此，對小孩來說，分數是不自然和抽象的。他們也許會覺得一加一容易，但三分一加三分一卻困難；因為計算分數時，他們需視三分一，非一，為一個單位。
我們可以透過把繩子分成等份，協助小孩明白分數為一個整體部份的概念。把繩分為三等份，三分一就是從三份中取一份；把繩分為六份，三分一則是六份中取兩份。如此類推，二分一的意思是從六份中取三份，即六分三。
若要計算三分一加二分一，那便是把繩子的兩小份加三小份，即在六份中取五份；這就是說，三分一加二分一的答案是六分五。用數學算式表示：
1/3 + 1/2 = 2/6 + 3/6 = 5/6
明白了上述這一點，你便應該知道二加三基本上跟三分一加二分一相同。只要你能熟悉加、減、乘、除的基本操作，你就可以進行混合這四個基本操作的四式運算題，然後，再進一步挑戰更深奧的問題，如牽涉到分數的運算。道理就是如此簡單，沒有奧妙之處。
上述例子說明了兩個原則。第一是必須完全掌握加法及其他三種基礎運算，缺一不可。第二，要懂得將難題簡化成已知的東西，就像把三分一加二分一轉化為二加三，然後，再套用熟悉的技巧。
他們便陷入極度迷茫的狀態，對著問題發獃，覺得那些定理無助解決問題。
小孩要掌握基本概念固然費煞思量，但其實大學生亦然。在大學教授微積分 (Calculus) 時，我見過不少學生，能夠透過熟讀相關的數學定理而順利回答微分 (differential calculus) 和積分 (integral calculus) 的問題。然而，當問題以另一個方式表達，從而考驗他們對微積分基本概念的了解時，他們便陷入極度迷茫的狀態，對著問題發獃，覺得那些定理無助解決問題。
微積分背後有四個概念，分別是極限 (limits)、函數的連續性 (continuity of function)、函數的可微分性(function differentiability)及函數的可積分性 (function integrability)。你可以把函數想像為一部機器，有輸入，也有輸出。用數學的字眼，輸入的叫獨立變數 (independent variable)，輸出的為函數值 (functional value)。極限的概念最好透過數列 (sequence) 來理解。當序列收歛 (converges) 至一個具體值時，我們會說該值為這個收歛序列的極限。計算極限，等同於計算序列的收歛。
函數的連續性就是研究函數收歛的特性。微積分是建基於極限的概念及函數的連續性。數學家能夠藉此計算涉及無限小部份的東西；例如，我們能夠用微分來解答變率改變的問題。有了微積分，我們就能夠解決一些在它出現前無法解決的問題。
許多大學生知道如何透過背誦和應用微分及積分定理來找尋導數(derivative)及積分(integral)，但可惜只有少數人了解極限的概念，而且對函數的連續性亦認識有限。因為這些缺點和不足，當遇到非一般的問題，需要對函數的特性有更深入認識時，許多學生都被卡住了。情況就如金字塔是不可能建築在一個不穩的基礎上。
回應我開首提出的問題，我相信要穩固和有效地學習數學，那就必須有系統地學習數學的基礎概念。很多時，我們需要透過長時間的反覆練習才能達致這點。
除了學習數學，我在踢足球和打高爾夫球時亦會運用這套系統學習模式。
除了學習數學，我在踢足球和打高爾夫球時亦會運用這套系統學習模式。踢足球涉及運球、傳球及射門多項技巧。要運球出色，就必須學習怎樣利用雙腳不同部位控制足球。更困難的是要一面快跑，一面控球在握。射波則要擺動擊球腳，最後以合適的角度起腳擊球。這一切聽來容易，但卻要不斷重複練習，即使單調沉悶，也在所不計，務求完全掌握這些技巧。
我用讀數學的同樣態度來踢足球。要踢好足球，就必須掌握運球、傳球和射門的基本技術。我是圖中右面第二位球員。
眾所周知阿根廷球星美斯精通運球；他觸覺敏銳，兼且身手靈活，平衡力佳。他擁有運球所需的技術、速度、後勁和靈敏度，讓他即使全速前進，仍能夠控球在握。美斯是一名足球天才，他與生俱來的能力是別人難以模仿的。然而，縱使我們並沒有如美斯一樣的足球天份，只要能掌握所有基本技巧，仍是可以享受足球的樂趣。
足球外，我也喜愛高爾夫球。從某種角度看，高爾夫球其實是一項簡單的運動。高爾夫球手需要利用球桿，以最少的桿數，把球打進多個洞穴。你必須用正確的擺動姿勢，一貫和妥善地擊球；那就是這門運動的精髓。另外，你亦要有相關的知識，例如懂得選擇合適的球桿，懂得計算風向，擺動速度和球的位置等因素。這通通是說易行難。高爾夫球好手活士也曾一度一天練習六小時。在缺乏練習的情形下落場，我們甚至連球也擊不到，更遑論在面對沙坑、水潭或斜坡時，能夠揮桿解圍，把球擊離困局。
這是我在加拿大卡爾加里大學 (University of Calgary) 取得博士學位時拍攝的照片。由左至右分別是Professor R. Scheidler、Professor R.K. Guy、Professor H.C. Williams和我。Professor Guy是我的導師，亦是博奕論 (Game Theory)、組合數學 (Combinations) 和圖論 (Graph Theory) 的權威。 眾人皆知這名已故教授是一位天才數學家，但不是許多人知道他其實極為勤奮，每天大清早便起來工作，並且認識數學的每個分支，被喻為是「活生生的數學百科」。
只有掌握這兩門運動的基本技巧，我們才可滿有自信地踢波和揮桿。同樣地，必須明瞭數學的基礎概念，否則就只會運算操作，那並非真正的數學。經過多年來教授和學習數學，我相信最好的教學方式是從學科的基礎入手，並且了解科目經歷了哪些發展才達至今日的情況；更最重要的是，要透過有系統和循序漸進的方式來把握科目的基礎，了解科目的發展。
練習比天份更重要。不論學習對象是數學、物理、足球還是高爾夫球，只要勤奮用功，定必能打好穩健的基礎；而好的基礎把你提升到另一個境界，讓你能享受箇中的樂趣。而一旦建立了穩固的知識基礎，你便可進入真正和有趣的學問領域。
註：鄭博士在2007年加盟當時的香港教育學院，並在數社科技學系任職。後來學院升格為香港教育大學，學系亦改名為數學與資訊科技學系。鄭博士的研究興趣包括數論 (Number Theory)、隨機分析(Stochastic Calculus) 以及數學教育。
(中文翻譯：李婉霞)
